Aanvankelijk en gevorderd rekenen in groep 3, 4 en 5

In groep 3 start de formele instructie in rekenen-wiskunde. Die bouwt voort op de basis die is gelegd bij de kleuters, waar getalbegrip, tellen, maten, vormen en structuren centraal staan. In groep 3, 4 en 5 breiden leerlingen hun kennis en vaardigheden op deze gebieden uit en werken ze toe naar het meer complexe en abstracte rekenen-wiskunde van groep 5-6. Daarbij passeren ze een aantal mijlpalen, zoals begrip van de tientallige structuur, die voorwaardelijk zijn voor hun verdere ontwikkeling.

In dit artikel komt het volgende aan de orde:

1. De basisingrediënten van reken-wiskundeonderwijs
   Effectief reken-wiskundeonderwijs op de basisschool is betekenisvol, schakelt tussen concreet en abstract en tussen informeel en formeel en richt zich op begripsvorming én procedures.
2. Het reken-wiskundeonderwijs per domein
   Het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool beslaat vier inhoudsdomeinen: getallen, verhoudingen, meten en meetkunde en verbanden. Voor elk domein wordt een overzicht gegeven van wat we uit onderzoek weten over de ontwikkeling van leerlingen en hoe het onderwijs deze ontwikkeling kan stimuleren.
3. Sleutelbegrippen bij effectief reken-wiskundeonderwijs
   De leraar is de sleutel tot effectief reken-wiskundeonderwijs. Er worden vier sleutelbegrippen beschreven hoe leraren hun reken-wiskundeonderwijs zo effectief mogelijk kunnen maken: het soort instructie, inzet van digitale tools, inspelen op behoeften van leerlingen en het stimuleren van zelfvertrouwen en motivatie.

De basisingrediënten van reken-wiskundeonderwijs

Effectief reken-wiskundeonderwijs op de basisschool is betekenisvol, schakelt tussen concreet en abstract en tussen informeel en formeel, en is gericht op begrip én procedures.

Betekenisvol rekenen

Rekenen-wiskunde is een proces van grip krijgen op de wereld om ons heen door deze te (her)ordenen. Daarmee is het onlosmakelijk verbonden met de wereld om ons heen. Het is daarom belangrijk dat het rekenonderwijs betekenisvol is en aansluit bij de belevingswereld van leerlingen. Dit is des te belangrijker voor jonge(re) leerlingen die nog vooral rekenen door te doen (Van Groenestijn et al., 2011). Van Groenestijn, M., Borghouts, C., & Janssen, C. (2011). Protocol ernstige RekenWiskunde-problemen en dyscalculie. Koninklijke Van Gorcum.
https://erwd.nl/_downloads/protocol-ernstige-reken-wiskundeproblemen-en-dyscalculie/basisonderwijs/protocol-erwd-po-bso-so.pdf
 Het verhoogt ook de motivatie van leerlingen.

Veel methoden bieden contextopgaven aan om het rekenen betekenisvol te maken en leerlingen te laten oefenen met probleemoplossen (Gravemeijer, 1997; Gravemeijer, K. (1997). Solving word problems: A case of modelling? Learning and Instruction, 7(4), 389–397. 
https://doi.org/10.1016/S0959-4752(97)00011-X
 Hickendorff, 2021). Hickendorff, M. (2021). The demands of simple and complex arithmetic word problems on language and cognitive resources. Frontiers in Psychology, 12, 4494. 
https://doi.org/10.3389/fpsyg.2021.727761
 Het oplossen van contextopgaven verloopt in drie stappen: plannen (op basis van identificatie van de situatie), uitvoeren en reflecteren (Van Groenestijn et al., 2011). Van Groenestijn, M., Borghouts, C., & Janssen, C. (2011). Protocol ernstige RekenWiskunde-problemen en dyscalculie. Koninklijke Van Gorcum.
https://erwd.nl/_downloads/protocol-ernstige-reken-wiskundeproblemen-en-dyscalculie/basisonderwijs/protocol-erwd-po-bso-so.pdf
 Om het probleemoplossend handelen van de leerling te analyseren wordt het drieslagmodel gebruikt.

Een aandachtspunt bij contextopgaven is dat ze vrij talig zijn. Dat kan een obstakel vormen voor leerlingen die moeite hebben met taal en lezen (Hickendorff, 2013). Hickendorff, M. (2013). The language factor in elementary mathematics assessments: Computational skills and applied problem solving in a multidimensional IRT framework. Applied Measurement in Education, 26(4), 253–278. 
https://doi.org/10.1080/08957347.2013.824451
 Een andere valkuil is dat contextopgaven vaak gekunsteld zijn, en dat leerlingen dit soort opgaven als ‘aangeklede kale sommen’ ervaren en aanpakken (Verschaffel et al., 1994, Verschaffel, L., De Corte, E., & Lasure, S. (1994). Realistic considerations in mathematical modeling of school arithmetic word problems. Learning and Instruction, 4(4), 273–294.

https://doi.org/10.1016/0959-4752(94)90002-7
 2020). Verschaffel, L., Schukajlow, S., Star, J., & Van Dooren, W. (2020). Word problems in mathematics education: a survey. ZDM, 52(1), 1–16.
https://doi.org/10.1007/s11858-020-01130-4
 Contextopgaven zijn een middel om rekenen betekenisvol te maken, te oefenen met het rekenkundig modelleren van de werkelijkheid en procedures toe te passen in voorstelbare situaties. Ze moeten geen betekenisloze, talige, puzzeltjes worden.

Van concreet naar abstract en van informeel naar formeel

Om begrip van procedures te stimuleren is het belangrijk om te beginnen met concrete voorbeelden en die langzaam steeds abstracter te maken (concreteness fading) (Fyfe et al., 2015). Fyfe, E. R., McNeil, N. M., & Borjas, S. (2015). Benefits of “concreteness fading” for children’s mathematics understanding. Learning and Instruction, 35, 104–120.
https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2014.10.004
 Voor het Nederlandse reken-wiskundeonderwijs komt dit terug in het handelingsmodel (Van Groenestijn et al., 2011). Van Groenestijn, M., Borghouts, C., & Janssen, C. (2011). Protocol ernstige RekenWiskunde-problemen en dyscalculie. Koninklijke Van Gorcum.
https://erwd.nl/_downloads/protocol-ernstige-reken-wiskundeproblemen-en-dyscalculie/basisonderwijs/protocol-erwd-po-bso-so.pdf
 Dit model onderscheidt vier niveaus in de ontwikkeling van leerlingen:

Vooral leerlingen uit groep 3-4 leren rekenen-wiskunde door te doen en waar te nemen: door werkelijk te handelen of door de werkelijkheid concreet voor te stellen. Dus zeker voor deze leeftijdsgroep zijn deze niveaus een goed startpunt (Van Groenestijn et al., 2011). Van Groenestijn, M., Borghouts, C., & Janssen, C. (2011). Protocol ernstige RekenWiskunde-problemen en dyscalculie. Koninklijke Van Gorcum.
https://erwd.nl/_downloads/protocol-ernstige-reken-wiskundeproblemen-en-dyscalculie/basisonderwijs/protocol-erwd-po-bso-so.pdf

Begrip en procedures

Rekenen-wiskunde gaat om concepten begrijpen en procedures kunnen uitvoeren, dus om conceptuele en procedurele kennis. Die twee soorten kennis beïnvloeden elkaar wederzijds: het is tweerichtingsverkeer (Rittle-Johnson et al., 2015). Rittle-Johnson, B., Schneider, M., & Star, J. R. (2015). Not a one-way street: Bidirectional relations between procedural and conceptual knowledge of mathematics. Educational Psychology Review, 27(4), 587–597. 
https://doi.org/10.1007/s10648-015-9302-x
 Dat betekent voor het onderwijs dat het goed is om op en neer te gaan tussen instructie in het concept en oefenen: een korte uitleg over een concept, deze oefenen met bijbehorende bewerkingen en dan regelmatig in toepassingen dat concept blijven aanbieden, zoals ook beschreven in het hoofdlijnenmodel (Van Groenestijn et al., 2011). Van Groenestijn, M., Borghouts, C., & Janssen, C. (2011). Protocol ernstige RekenWiskunde-problemen en dyscalculie. Koninklijke Van Gorcum.
https://erwd.nl/_downloads/protocol-ernstige-reken-wiskundeproblemen-en-dyscalculie/basisonderwijs/protocol-erwd-po-bso-so.pdf
 Zo kunnen de conceptuele kennis en de procedurele kennis zich steeds beter ontwikkelen.

Het reken-wiskundeonderwijs per domein

Doelen, en leerlijnen naar die doelen toe, vormen de basis van de inhoud van het reken-wiskundeonderwijs.  Door doelgericht te werken en activiteiten aan te bieden die aansluiten bij het niveau en de leerbehoeftes leren leerlingen het meest. In Nederland bestaan voor het einde van de basisschool aanbodsdoelen (de kerndoelen) en beheersingsdoelen (de referentieniveaus) (OCW, 2006, OCW. (2006). Kerndoelen basisonderwijs. Den Haag: Ministerie van OCW.
https://open.overheid.nl/repository/ronl-7effcbd8-41bd-482b-bc4c-54b0bab740ff/1/pdf/

kerndoelenboekje.pdf
 2009). OCW, M. van. (2009). Referentiekader taal en rekenen. Den Haag: Ministerie van OCW.

SLO heeft verschillende uitwerkingen van leerlijnen ontwikkeld. In het TULE-project is uitgegaan van de 11 kerndoelen. Voor elk kerndoel zijn tussendoelen en leerlijnen uitgewerkt in vier fasen van het basisonderwijs. TULE biedt echter geen totaaloverzicht van mogelijke inhouden bij de kerndoelen, terwijl daar in het onderwijsveld wel behoefte aan is.

Daarom heeft SLO ook meer gedetailleerde inhoudslijnen uitgewerkt. Daarbij is uitgegaan van zes onderdelen van het rekenen-wiskunde: Getalbegrip, Bewerkingen, Meten, Meetkunde, Verhoudingen en Verbanden. Er wordt gewerkt met drie leeftijdsfasen: fase 1/jonge kind (4-7 jaar), fase 2 (grofweg groep 3-5/6) en fase 3 (groep 6-8). Scholen kunnen deze inhoudslijnen gebruiken bij de ontwikkeling van eigen onderwijsleerlijnen en een schooleigen curriculum en leraren kunnen ze gebruiken bij differentiatie.

Het referentiekader voor rekenen-wiskunde onderscheidt vier inhoudsdomeinen: Getallen, Meten en meetkunde, Verhoudingen en Verbanden (OCW, 2009). OCW, M. van. (2009). Referentiekader taal en rekenen. Den Haag: Ministerie van OCW.
 Binnen elk van deze domeinen is onderzoek gedaan naar hoe leerlingen hun kennis en vaardigheden ontwikkelen en hoe het onderwijs hen daar het best bij kan helpen.

Getallen

Het domein Getallen vormt een prominent onderdeel van het reken-wiskundeonderwijs in groep 3, 4 en 5. Daarom gaan we er in dit artikel uitvoeriger op in dan op de andere drie domeinen. Dit domein bevat de onderdelen Getalbegrip en Bewerkingen. Het gaat dan bijvoorbeeld om splitsingen van 10 en het automatiseren van de basisbewerkingen: optellen/aftrekken tot 20 en de vermenigvuldigingstafels. Het ontwikkelen van strategieën voor optellen en aftrekken met grotere hele getallen krijgt veel aandacht. Ook starten leerlingen met vermenigvuldigen en delen met grotere hele getallen. Het is bij al deze strategieën belangrijk dat leerlingen berekeningen en hulpnotities opschrijven. Dit ontlast het werkgeheugen en biedt zowel leraar als leerling zicht op de gevolgde stappen (Fagginger Auer et al., 2018; Fagginger Auer, M. F., Hickendorff, M., & van Putten, C. M. (2018). Training can increase students’ choices for written solution strategies and performance in solving multi-digit division problems. Frontiers in Psychology, 9, 1644. 
https://doi.org/10.3389/fpsyg.2018.01644
 Hickendorff et al., 2010). Hickendorff, M., van Putten, C. M., Verhelst, N. D., & Heiser, W. J. (2010). Individual differences in strategy use on division problems: Mental versus written computation. Journal of Educational Psychology, 102(2), 438–452. 
https://doi.org/10.1037/a0018177
 Leraren kunnen het gebruik van uitrekenpapier stimuleren door dit te laten inleveren (ook bij digitale verwerking) en een goede aanpak maar foutief antwoord te belonen.

Voor de leerlijn Getallen is een interactieve tool ontwikkeld: Digilijn (Klein Tank, 2020). Klein Tank, M. (2020). Digilijn rekenen. Leerlijnen rekenen groep 1 t/m 6 met getalbegrip als centrale lijn. interactieve pdf-versie van de website. SLO.
https://www.slo.nl/@17217/digilijn-rekenen/
 Getalbegrip vormt de centrale lijn waar de leerlijnen voor de bewerkingen uitstromen. Het bevat veel praktische voorbeelden van activiteiten die aansluiten bij de meeste reken-wiskundemethoden

Getalbegrip

Bij de kleuters en in het begin groep 3 leren leerlingen de telrij vanaf het begin op te zeggen, leren ze cijfers en getallen en deze te koppelen aan een aantal. In groep 3, 4 en 5 wordt het getalgebied uitgebreid van getallen tot 20 in groep 3, via getallen tot 100 in groep 4 en tot 1000 en daarboven in groep 5-6. Vergelijken, ordenen en tellen met sprongen zijn essentiële onderdelen. De getallenlijn is daarbij een belangrijk hulpmiddel. Daarnaast is begrip van de tientallige structuur van getallen en van de plaatswaarde van cijfers in getallen een voorwaarde voor het begrijpen en uitvoeren van de bewerkingen.

Lees ook
Themapagina over voorbereidend en beginnen rekenen in groep 1 en 2

Automatiseren en memoriseren van de basisbewerkingen

Als leerlingen voldoende begrip hebben van getallen tot 20 moeten ze bepaalde kennis automatiseren (vrijwel routinematig uitrekenen) of memoriseren (uit het hoofd kennen), zoals optellen en aftrekken tot 20 en de vermenigvuldigingstafels. Dit doen leerlingen door verschillende fasen van strategieontwikkeling (Lemaire & Siegler, 1995; Lemaire, P., & Siegler, R. S. (1995). Four aspects of strategic change: Contributions to children’s learning of multiplication. Journal of Experimental Psychology, 124(1), 83–97.

https://doi.org/10.1037/0096-3445.124.1.83
 Ros et al., 2022) Ros, B., Hickendorff, M., Keijzer, R., & Van Luit, H. (2022). Leer ze rekenen. Praktische inzichten uit onderzoek voor leraren basisonderwijs. Ten Brink Uitgevers.
https://didactiefonline.nl/artikel/leer-ze-rekenen
 te doorlopen. Een opgave als 6+5 kunnen ze bijvoorbeeld oplossen via verschillende strategieën:

• (door)tellen (7,8,9,10,11),
• rekenen via het tiental (6+4+1=11),
• gebruikmaken van een hulpsom (5+5=10 dus 6+5 is één meer).

In het begin gebruiken leerlingen handelende strategieën, vaak ondersteund met concreet materiaal (zoals tellen op de vingers of met materialen zoals fiches of een kralenketting). Door oefening en instructie maken deze omslachtige strategieën plaats voor efficiëntere strategieën, gebaseerd op het steeds rijkere kennisnetwerk van getallen en getalrelaties. Vingertellen is dus een nuttige, maar wel tijdelijke, fase in de ontwikkeling van de basisbewerkingen (Jordan et al., 2008). Jordan, N. C., Kaplan, D., Ramineni, C., & Locuniak, M. N. (2008). Development of number combination skill in the early school years: When do fingers help? Developmental Science, 11(5), 662–668. 
https://doi.org/10.1111/j.1467-7687.2008.00715.x
 Als leerlingen halverwege groep 4 nog steeds op hun vingers tellen is dat een signaal dat ze de basisbewerkingen nog onvoldoende geautomatiseerd hebben. Extra oefentijd en leren turvend te tellen kunnen dan helpen (Ros et al., 2022). Ros, B., Hickendorff, M., Keijzer, R., & Van Luit, H. (2022). Leer ze rekenen. Praktische inzichten uit onderzoek voor leraren basisonderwijs. Ten Brink Uitgevers.
https://didactiefonline.nl/artikel/leer-ze-rekenen

Regelmatig oefenen is voor het automatiseren cruciaal: minimaal tien minuten per dag (Kennisrotonde, 2020). Kennisrotonde. (2020). Hoe kan in het rekenonderwijs op de basisschool het memoriseren en automatiseren van basisbewerkingen het beste worden aangeleerd en onderhouden? (KR. 808). NRO/Kennisrotonde. 
https://www.kennisrotonde.nl/sites/kennisrotonde/files/migrate/PDF-voor-website-Kennisrotonde-antwoord-VRAAG-808.pdf
 Oefenen is niet simpelweg ‘stampen’ van rijtjes. Oefenen gericht op het ontdekken van patronen en relaties is een belangrijke manier om tot efficiëntere strategieën te komen (Baroody et al., 2009). Baroody, A. J., Bajwa, N. P., & Eiland, M. (2009). Why can’t Johnny remember the basic facts? Developmental Disabilities Research Reviews, 15(1), 69–79. 
https://doi.org/10.1002/ddrr.45
 Korte, vlotte oefeningen met de hele klas waarbij leerlingen hun strategieën en ‘hulpsommen’ verwoorden kunnen daarbij helpen (Klein Tank, 2020). Klein Tank, M. (2020). Digilijn rekenen. Leerlijnen rekenen groep 1 t/m 6 met getalbegrip als centrale lijn. interactieve pdf-versie van de website. SLO.
https://www.slo.nl/@17217/digilijn-rekenen/
 Het is belangrijk te blijven oefenen om de basisbewerkingen te onderhouden.

Optellen en aftrekken

In groep 4 beginnen leerlingen met optellen en aftrekken tot 100. Ook dit soort bewerkingen kunnen ze op verschillende manieren oplossen (Hickendorff et al., 2019). Hickendorff, M., Torbeyns, J., & Verschaffel, L. (2019). Multi-digit addition, subtraction, multiplication, and division strategies.
10.1007/978-3-319-97148-3_32 In A. Fritz, V. G. Haase, & P. Räsänen (Eds.), International Handbook of Mathematical Learning Difficulties. (pp. 543–560). Springer Nature, Switzerland.
 In groep 4-5 staat het hoofdrekenen centraal – waarbij het gaat om rekenen met het hoofd, niet uitsluitend in het hoofd. Er zijn twee verschillende basisstrategieën: splitsen en rijgen.

• Splitsen – Beide getallen worden opgesplitst in tientallen en eenheden. Concreet materiaal gebaseerd op de tientallige structuur van getallen, zoals MAB-materiaal, MAB (Multibase Arithmetic Blocks) is concreet materiaal dat het tientallig stelsel inzichtelijk maakt. Het materiaal geeft eenheden, tientallen en honderdtallen weer als blokjes, staven en vlakken. Tien losse blokjes vormen een staaf en tien staven vormen een honderdvlak.
  
  Zie ook het artikel 'voorbereidend cijferen in groep 3 en 4 - werken aan vaardigheid én begrip' op https://www.vernieuwenderwijs.nl/voorbereidend-cijferen/
   is geschikt om het splitsen te ondersteunen.
• Rijgen – Het eerste getal wordt intact gehouden en alleen het tweede getal gesplitst. Dit is als het vooruit of achteruit bewegen op een getallenlijn. Een nuttig didactisch model is dan ook de (lege) getallenlijn (Klein et al., 1998; Klein, A. S., Beishuizen, M., & Treffers, A. (1998). The empty number line in dutch second grades: Realistic versus Gradual Program Design. Journal for Research in Mathematics Education.
  https://doi.org/10.2307/749861
  Van Zanten & van den Heuvel-Panhuizen, 2014). Van Zanten, M., & van den Heuvel-Panhuizen, M. (2014). Freedom of design: The multiple faces of ubtraction in Dutch primary school textbooks. In Y. Li & G.Lappan (Eds.), Mathematics Curriculum in School Education (pp. 231–259). Springer.
  https://doi.org/10.1007/978-94-007-7560-2
  

Voor optellen werken beide strategieën goed, maar voor aftrekken leidt het splitsen vaak tot problemen als het tiental overschreden wordt (Hickendorff et al., 2019; Hickendorff, M., Torbeyns, J., & Verschaffel, L. (2019). Multi-digit addition, subtraction, multiplication, and division strategies.
10.1007/978-3-319-97148-3_32 In A. Fritz, V. G. Haase, & P. Räsänen (Eds.), International Handbook of Mathematical Learning Difficulties. (pp. 543–560). Springer Nature, Switzerland.
 Vermeulen et al., 2020). Vermeulen, J. A., Béguin, A., Scheltens, F., & Eggen, T. J. H. M. (2020). Evaluating the characteristics of diagnostic items for bridging errors in multi-digit subtraction. Frontiers in Education, 5, 1–11.
https://doi.org/10.3389/feduc.2020.537531
 Een opgave als 63-17 leidt namelijk tot de tussenstap 3-7=-4, of 4 tekort. In die laatste stap maken leerlingen veel fouten. Daarom kun je splitsen bij aftrekken beter ontmoedigen.

Naast de basisstrategieën die altijd werken bestaan ook varia-strategieën. Bij deze strategieën maken leerlingen handig gebruik van eigenschappen van getallen en getalrelaties, zoals 84-39 uitrekenen via compenseren (te veel aftrekken en dan weer terug compenseren) of aanvullen (bepalen hoeveel bij het tweede getal opgeteld moet worden om bij het eerste getal te komen). Dit soort strategieën gebruiken leerlingen in de praktijk weinig, terwijl ze in potentie heel efficiënt kunnen zijn (Hickendorff, 2020; Hickendorff, M. (2020). Fourth graders’ adaptive strategy use in solving multidigit subtraction problems. Learning and Instruction, 67, 101311. 
https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2020.101311
 Verschaffel et al., 2021). Verschaffel, L., De Smedt, B., Van Der Auwera, S., & Torbeyns, J. (2021). Subtraction by addition: A remarkably natural and clever way to subtract? Heterogeneous Contributions to Numerical Cognition: Learning and Education in Mathematical Cognition, 117–141.

https://doi.org/10.1016/B978-0-12-817414-2.00005-1

Voor zwakke rekenaars bestaat het risico dat dit soort handige strategieën tot verwarring leiden, of fout worden uitgevoerd. Bijvoorbeeld bij compenseren moeten leerlingen goed begrijpen dat ze bij hun uitkomst 1 moeten optellen, en niet aftrekken. Een handige strategie is daarom niet voor iedereen een makkelijke strategie. Een uitzondering is het aanvullen bij aftrekopgaven: ook zwakke rekenaars kunnen hier goed mee uit de voeten, vooral als het verschil tussen de twee getallen klein is zoals in 62-58 (Peltenburg et al., 2012; Peltenburg, M., van den Heuvel-Panhuizen, M., & Robitzsch, A. (2012). Special education students’ use of indirect addition in solving subtraction problems up to 100 - A proof of the didactical potential of an ignored procedure. Educational Studies in Mathematics, 79(3), 351–369.

https://doi.org/10.1007/s10649-011-9351-0
 Van Der Auwera et al., 2022). Van Der Auwera, S., Torbeyns, J., De Smedt, B., Verguts, G., & Verschaffel, L. (2022). The remarkably frequent, efficient, and adaptive use of the subtraction by addition strategy: A choice/no-choice study in fourth- to sixth-graders with varying mathematical achievement levels. Learning and Individual Differences, 93, 102107. 
https://doi.org/10.1016/j.lindif.2021.102107

In hoeverre leerlingen handig rekenen hangt samen met het aanbod in de rekenmethode (Sievert et al., 2019). Sievert, H., van den Ham, A. K., Niedermeyer, I., & Heinze, A. (2019). Effects of mathematics textbooks on the development of primary school children’s adaptive expertise in arithmetic. Learning and Individual Differences, 74, 101716.
https://doi.org/10.1016/j.lindif.2019.02.006
 Het gaat dan bijvoorbeeld om welke strategieën de methode aanbiedt en hoe vaak. Leraren kunnen flexibel en handig rekenen stimuleren door leerlingen de strategieën te laten vergelijken en te bespreken.

Vermenigvuldigen en delen

Bij vermenigvuldigen en delen leren leerlingen tot eind groep 5 vooral de tafels automatiseren. Vanaf de tweede helft van groep 5 gaan ze vermenigvuldigen met grotere getallen (Buijs, 2008). Buijs, K. (2008). Leren vermenigvuldigen met meercijferige getallen. Utrecht: Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education. 
https://www.fi.uu.nl/publicaties/literatuur/2008_proefschrift_buijs.pdf
 Ook hier geldt weer dat leerlingen eerst intuïtieve maar omslachtige strategieën gebruiken om die vervolgens door te ontwikkelen naar efficiëntere strategieën. Dit gebeurt via instructie en oefening. Zo is de meest basale strategie voor vermenigvuldigen herhaald optellen (3x14=14+14+14), eventueel ondersteund met de lege getallenlijn. Een efficiënte, altijd bruikbare strategie is de splits- of verdeelstrategie (3x14=3x10+3x4) waarbij leerlingen de ‘tienregel’ handig inzetten. Geld of het rechthoekmodel kunnen leraren inzetten als ondersteuning, omdat deze de verdeeleigenschap zichtbaar maken.

Ook bij delen is een zelfde soort ontwikkeling zichtbaar (Van Putten et al., 2005). Van Putten, C. M., van den Brom-Snijders, P. A., & Beishuizen, M. (2005). Progressive mathematization of long division strategies in dutch primary schools. Journal for Research in Mathematics Education, 36(1), 44–73. 
http://www.jstor.org/stable/10.2307/30034920
 Eerst gebruiken leerlingen meer informele handelende strategieën, zoals herhaald aftrekken (68:4 uitrekenen door steeds losse 4-en af te trekken) en opvermenigvuldigen (bv. 10x4=40; 15x4=60; 16x4=64; 17x4=68). Vervolgens komen de efficiëntere, meer geavanceerde strategieën zoals splitsen (60:4=15 en 8:4=2) en herhaald aftrekken van veelvouden van de deler (68-40 [10x] = 28; 28-28 [7x]=0, dus 17).

Standaardprocedures: kolomsgewijs rekenen en cijferen

Voor alle vier de bewerkingen worden de hoofdrekenstrategieën opgevolgd door standaardprocedures, het ‘onder elkaar rekenen’ (Hickendorff et al., 2019). Hickendorff, M., Torbeyns, J., & Verschaffel, L. (2019). Multi-digit addition, subtraction, multiplication, and division strategies.
10.1007/978-3-319-97148-3_32 In A. Fritz, V. G. Haase, & P. Räsänen (Eds.), International Handbook of Mathematical Learning Difficulties. (pp. 543–560). Springer Nature, Switzerland.
 Veel reken-wiskundemethoden behandelen eerst het kolomsgewijs rekenen in groep 5-6 als brug naar het cijferen. Het kolomsgewijs rekenen kan vervolgens verkort worden tot het cijferend rekenen in groep 6-7. Voor delen kan kolomsgewijs rekenen ook het eindpunt van de leerlijn zijn.

Het doel van kolomsgewijs rekenen is een brug te slaan tussen de hoofdrekenstrategieën en het cijferen, zodat de leerlingen de efficiënte maar abstracte stappen van het cijferen beter begrijpen. Of een school het kolomsgewijs rekenen aanbiedt hangt samen met de didactische visie op reken-wiskundeonderwijs, die ook verschilt tussen rekenmethoden (Fagginger Auer et al., 2016). Fagginger Auer, M. F., Hickendorff, M., Van Putten, C. M., Béguin, A. A., & Heiser, W. J. (2016). Multilevel latent class analysis for large-scale educational assessment data: Exploring the relation between the curriculum and students’ mathematical strategies. Applied Measurement in Education, 29(2). 144-159. 
https://doi.org/10.1080/08957347.2016.1138959
 Er is geen onderzoek specifiek naar het effect van wel of niet kolomsgewijs rekenen, maar waarschijnlijk maakt het weinig uit (Kennisrotonde, 2019). Kennisrotonde. (2019). Wat is het effect van het aanleren van kolomsgewijs rekenen (voorafgaand aan en deels ten koste van het aanleren van cijferend rekenen) op de rekenprestaties van leerlingen in het basisonderwijs? (KR. 476). NRO/Kennisrotonde. 
https://www.kennisrotonde.nl/sites/kennisrotonde/

files/migrate/476-antwoord-kolomsgewijs-of-cijferend-leren.pdf

Als wordt gekozen voor kolomsgewijs rekenen als tussenfase is het wel belangrijk dat dit goed gebeurt: de focus moet liggen op de doorgaande leerlijn, van hoofdrekenen via kolomsgewijs naar cijferen. Een risico is dat leerlingen kolomsgewijs rekenen als geïsoleerde strategie leren die ook snel weer verdwijnt. Een aandachtspunt specifiek voor kolomsgewijs aftrekken is dat leerlingen met negatieve getallen moeten werken bij tientaloverschrijding. Met name voor zwakke rekenaars zijn deze negatieve getallen een brug te ver. Bovendien komt dit niet terug bij het cijferend aftrekken, waar negatieve getallen worden vermeden door te ‘lenen’.

Schattend rekenen

In het reken-wiskundeonderwijs neemt ‘schattend rekenen’ een aparte plek in. Van nature hebben mensen gevoel voor hoeveelheden, oftewel schattingsvermogen. Dit bestaat naast het aangeleerde, symbolische systeem van rekenen-wiskunde. Deze twee systemen beïnvloeden elkaar: door te rekenen worden leerlingen beter in schatten, en door de schatten worden leerlingen beter in rekenen (Halberda et al., 2008). Halberda, J., Mazzocco, M. M. M., & Feigenson, L. (2008). Individual differences in non-verbal number acuity correlate with maths achievement. Nature, 455(7213), 665–668. 
https://doi.org/10.1038/nature07246

Oefenen met schatten kan in elke rekenles gebeuren. Je kunt leerlingen eerst een antwoord bij benadering te laten geven bij een (context)opgave. Laat leerlingen zich afvragen wat het effect van de bewerking zal zijn (wordt het meer of minder?) en binnen welk getallengebied de opgave zich afspeelt. Zo versterken ze hun gevoel voor verhoudingen tussen getallen en de orde van grootte van getallen. Bovendien kunnen ze hun precieze berekeningen checken. Leraren kunnen voordoen hoe ze schatten door hardop te denken. Het praten over schatten is belangrijk: laat leerlingen vertellen hoe ze tot hun schatting zijn gekomen. Zo help je hen om de brug te slaan tussen het natuurlijke en het formele getalsysteem (Ros et al., 2022). Ros, B., Hickendorff, M., Keijzer, R., & Van Luit, H. (2022). Leer ze rekenen. Praktische inzichten uit onderzoek voor leraren basisonderwijs. Ten Brink Uitgevers.
https://didactiefonline.nl/artikel/leer-ze-rekenen

Meten en meetkunde

Meten en meetkunde vormen in het referentiekader samen één domein, maar inhoudelijk zijn het twee verschillende onderdelen: meten gaat over tellen en maten, terwijl meetkunde gaat over oriëntatie in de ruimte.

Meten

Meten gaat over lengte en omtrek, oppervlakte, inhoud, gewicht en tijd. Dus over hoe lang, groot of zwaar iets is, hoeveel ergens in kan en hoe lang iets duurt. Meten is overal in het dagelijks leven. Meetsituaties vormen daarom een zeer betekenisvolle toepassing voor begrip van getallen en bewerkingen (Barrett et al., 2012; Barrett, J. E., Sarama, J., Clements, D. H., Cullen, C., McCool, J., Witkowski-Rumsey, C., & Klanderman, D. (2012). Evaluating and improving a learning trajectory for linear measurement in elementary grades 2 and 3: A longitudinal study. Mathematical Thinking and Learning, 14(1), 28–54. 
https://doi.org/10.1080/10986065.2012.625075
 Gravemeijer, 2000). Gravemeijer, K. (2000). Meten als basis voor het rekenen met de lege getallenlijn. Tijdschrift voor Nascholing en Onderzoek van het Reken-Wiskundeonderwijs, 18(3), 37–46. 
http://www.fisme.science.uu.nl/publicaties/literatuur/3745.pdf
 Zo is een liniaal een getallenlijn en het metriek stelsel een manier om decimale getallen te introduceren, zoals in het subdomein lengte (12,4m als 12 hele meters en 4 decimeters, oftewel tienden van een meter).

In het onderwijs in groep 3 en 4 ligt het accent op het begrip. Daarom is het belangrijk meetactiviteiten te richten op wat het betekent om te meten, in plaats van op hoe te meten. Dit kan bijvoorbeeld door te vragen ‘welke is zwaarder/lichter?’ als leerlingen objecten op een balansweegschaal leggen. Zo leren leerlingen te meten door te vergelijken. Of door betekenisvolle hoeken in te richten, zoals met Sinterklaas een inpakkamer, waarbij leerlingen moeten vergelijken en inschatten hoe groot het papier voor het cadeautje moet zijn.

Door leerlingen echt te laten ervaren wat bijvoorbeeld 1 liter of 1 ml is, leren de leerlingen referentiematen met begrip en gaan ze inzien waarom het kiezen van één vaste maat nuttig is. Pas daarna volgt instructie in procedures voor bijvoorbeeld het gebruik van een liniaal en het formele rekenen binnen het metriek stelsel (Barrett et al., 2012; Barrett, J. E., Sarama, J., Clements, D. H., Cullen, C., McCool, J., Witkowski-Rumsey, C., & Klanderman, D. (2012). Evaluating and improving a learning trajectory for linear measurement in elementary grades 2 and 3: A longitudinal study. Mathematical Thinking and Learning, 14(1), 28–54. 
https://doi.org/10.1080/10986065.2012.625075
 Idrus et al., 2022). Idrus, H., Rahim, S. S. A., & Zulnaidi, H. (2022). Conceptual knowledge in area measurement for primary school students: A systematic review. STEM Education, 2(1), 47–58.
https://doi.org/10.3934/STEME.2022003

Meetkunde

Meetkunde gaat om oriënteren in de ruimte, construeren en opereren met vormen en figuren. Ruimtelijk inzicht speelt daarbij een zeer belangrijke rol. Dit is niet iets wat je wel of niet hebt, maar je kunt leerlingen hier op verschillende manieren in trainen (Uttal et al., 2013). Uttal, D. H., Meadow, N. G., Tipton, E., Hand, L. L., Alden, A. R., Warren, C., & Newcombe, N. S. (2013). The malleability of spatial skills: A meta-analysis of training studies. Psychological Bulletin, 139(2), 352–402. 
https://doi.org/10.1037/a0028446
 Dat kan met actieve, praktische lessen waarbij je als leraar gebruik maakt van herkenbare zaken uit het dagelijks leven, zoals locaties op school of objecten uit de klas. Geschikte activiteiten zijn bijvoorbeeld bouwopdrachten of routes uitstippelen op het schoolplein. Daarbij is het belangrijk om ruimtelijke woorden te gebruiken, zoals achterkant, voorkant, rond en driehoekig (Ros et al., 2022). Ros, B., Hickendorff, M., Keijzer, R., & Van Luit, H. (2022). Leer ze rekenen. Praktische inzichten uit onderzoek voor leraren basisonderwijs. Ten Brink Uitgevers.
https://didactiefonline.nl/artikel/leer-ze-rekenen

Ruimtelijk inzicht speelt ook een fundamentele rol binnen het domein getallen (Hawes & Ansari, 2020). Hawes, Z., & Ansari, D. (2020). What explains the relationship between spatial and mathematical skills? A review of evidence from brain and behavior. Psychonomic Bulletin & Review, 27, 465–482. 
https://doi.org/10.3758/s13423-019-01694-7
 Het vergroten van ruimtelijke vaardigheden heeft namelijk ook een positief effect op getalbegrip en numerieke vaardigheden zoals optellen en aftrekken (Judd & Klingberg, 2021; Judd, N., & Klingberg, T. (2021). Training spatial cognition enhances mathematical learning in a randomized study of 17,000 children. Nature Human Behaviour, 5(11), 1548–1554.
https://doi.org/10.1038/s41562-021-01118-4
 Uttal et al., 2013). Uttal, D. H., Meadow, N. G., Tipton, E., Hand, L. L., Alden, A. R., Warren, C., & Newcombe, N. S. (2013). The malleability of spatial skills: A meta-analysis of training studies. Psychological Bulletin, 139(2), 352–402. 
https://doi.org/10.1037/a0028446
 Meetkunde krijgt echter in de praktijk maar weinig aandacht in het reken-wiskundeonderwijs. Voor zwakke rekenaars staat meetkunde nog extra onder druk, omdat de nadruk meestal op de basisbewerkingen wordt gelegd. Juist voor hen kunnen de meetkundelessen door hun actieve karakter en de nadruk op begrip leerwinst opleveren en motiverend werken (Schoevers et al., 2016). Schoevers, E., Kroesbergen, E., Keijzer, R., & Jonker, V. (2016). Meetkunde, kunst en creativiteit. Volgens Bartjens, 36(2), 26–28. 
https://www.volgens-bartjens.nl/art/50-3562_Meetkunde-kunst-en-creativiteit-Een-lessenserie-ook-voor-zwakkere-rekenaars

Verhoudingen

Dagelijks komen we in situaties terecht waar we verhoudingen nodig hebben (Wijers, 2008). Wijers, M. (2008). Verhoudingen: doorlopende leerlijn?! Doorgaande Ontwikkelingen Rekenenwiskunde, 145–154. 
https://www.fisme.science.uu.nl/publicaties/literatuur/2008_wijers_verhoudingen.pdf
 In groep 3, 4 en 5 worden verhoudingen meestal niet (kwantitatief) benoemd maar vooral kwalitatief gebruikt, vaak in situaties van meten en meetkunde (wat is groter?). In groep 5-6 komen procenten en breuken als kwantitatieve verschijningsvormen van verhoudingen aan bod.

Verhoudingen

In verhoudingssituaties moeten leerlingen multiplicatief redeneren, via vermenigvuldigen en delen. Bijvoorbeeld: 2 ballen kosten samen 8 euro, hoeveel kosten 6 ballen samen? Hiervoor moeten leerlingen de ratio van de aantallen ballen gebruiken (6:2=3) en niet het verschil (6-2=4). Met andere woorden: ze moeten delen en niet aftrekken.

Leerlingen hebben vaak moeite met deze omschakeling, en lossen verhoudingsopgaven vaak op door op te tellen: er komt 4 bij, dus 8+4=12 euro (Van Dooren et al., 2010). Van Dooren, W., De Bock, D., & Verschaffel, L. (2010). From addition to multiplication … and back: The development of students’ additive and multiplicative reasoning skills. Cognition and Instruction, 28(3), 360–381. 
https://doi.org/10.1080/07370008.2010.488306
 Activiteiten die hen kunnen helpen bij deze omschakeling zijn bijvoorbeeld het laten classificeren van verschillende probleemsituaties als ‘optellen’ of ‘vermenigvuldigen’ of het houden van groepsdiscussies waarin verschillende oplossingsstrategieën vergeleken worden (Degrande et al., 2019). Degrande, T., Verschaffel, L., & Van Dooren, W. (2019). To add or to multiply? An investigation of the role of preference in children’s solutions of word problems. Learning and Instruction, 61, 60-71. 
https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2019.01.002
 Recepten en prijzen van artikelen zijn geschikte contexten. Als leerlingen toe zijn aan het rekenen met verhoudingen en later ook procenten is de verhoudingstabel een nuttig didactisch hulpmiddel.

Breuken

Leerlingen ervaren vaak moeilijkheden bij breuken. Siegler en collega’s (2010) Siegler, R. S., Carpenter, T., Fennell, F., Geary, D., Lewis, J., Okamoto, Y., Thompson, L., & Wray, J. (2010). Developing effective fractions instruction for kindergarten through 8th grade: A practical guide. National Center for Education Evaluation and Regional Assistance, Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education. https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED512043.pdf
 stellen daarom een doorlopende leerlijn voor breuken voor, die al begint bij de kleuters. Door activiteiten zoals een aantal pepernoten delen, en later gehele objecten zoals een pizza verdelen, doen jonge leerlingen ervaring met breuken op. Dit soort activiteiten kunnen leraren gebruiken om concepten zoals een half en een kwart te illustreren. Siegler en collega’s (2010) Siegler, R. S., Carpenter, T., Fennell, F., Geary, D., Lewis, J., Okamoto, Y., Thompson, L., & Wray, J. (2010). Developing effective fractions instruction for kindergarten through 8th grade: A practical guide. National Center for Education Evaluation and Regional Assistance, Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education. 
https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED512043.pdf
 bevelen aan om voort te bouwen op dit informele begrip van breuken. Dit kan bijvoorbeeld door het soort verdeelsituaties uit te breiden naar scenario’s waarbij leerlingen breuken moeten vergelijken: wat gebeurt er als je een pizza met meer mensen deelt? Om het begrip van gelijkwaardige breuken te illustreren, kun je leerlingen verschillende manieren laten bedenken om 4 pizza’s eerlijk te delen met 8 mensen: 4/8=2/4=1/2. In alle fasen is het nuttig om visuele representaties van de situaties te maken (Siegler et al., 2010). Siegler, R. S., Carpenter, T., Fennell, F., Geary, D., Lewis, J., Okamoto, Y., Thompson, L., & Wray, J. (2010). Developing effective fractions instruction for kindergarten through 8th grade: A practical guide. National Center for Education Evaluation and Regional Assistance, Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education. 
https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED512043.pdf

Ten slotte is het belangrijk om naast de focus op ‘een breuk representeert een deel-geheel situatie’ óók aandacht te besteden aan ‘een breuk is een getal dat voor een hoeveelheid staat en die je op een getallenlijn kunt zetten’ (Siegler & Lortie-Forgues, 2014). Siegler, R. S., & Lortie-Forgues, H. (2014). An integrative theory of numerical development. Child Development Perspectives, 8(3), 144–150.
https://doi.org/10.1111/cdep.12077
 Door op deze manier de overeenkomsten tussen (bewerkingen met) breuken en hele getallen te benadrukken, kun je veelvoorkomende obstakels bij het werken met breuken verminderen.

Verbanden

Verbanden zijn getalsmatige patronen (rijen voortzetten), patronen met (geometrische) figuren en patronen volgens eenvoudige rekenregels (bijvoorbeeld het verband tussen de stijging van de prijs bij toename van het aantal). Een belangrijk onderdeel zijn tabellen en grafieken. In het dagelijks leven zijn dit soort visuele gegevensweergaven van kwantitatieve informatie overal. In groep 3, 4 en 5 gaan leerlingen zelf werken met eenvoudige tabellen en staaf- en beelddiagrammen, waarbij kritisch denken belangrijk is. Een activiteit voor in de klas is bijvoorbeeld om leerlingen zelf onderzoek te laten doen naar een voor hen betekenisvolle onderzoeksvraag, zoals ‘wat voor tussendoortje hebben de kinderen in de klas mee?’ Ze verwerken vervolgens zelf de gegevens in een grafiek of tabel. Internationaal vergelijkend onderzoek laat zien dat Nederlandse groep-6-leerlingen op het onderdeel Gegevensweergave relatief goed presteren (Meelissen et al., 2020). Meelissen, M., Hamhuis, E., & Weijn, L. (2020). Leerlingprestaties in de exacte vakken in groep 6 van het basisonderwijs. Resultaten TIMSS-2019. Universiteit Twente.
https://open.overheid.nl/documenten/ronl-de0d526e-7dfc-4c25-a01a-51be51dd4026/pdf

Sleutelbegrippen bij effectief reken-wiskundeonderwijs

Er is niet één juiste of beste manier om leerlingen te leren rekenen, zo blijkt uit verschillende overzichtsstudies (Hickendorff et al., 2017; Hickendorff, Mostert, T. M. M., Van Dijk, C. J., Jansen, L. L. M., Van der Zee, L. L., & Auer, M. F. F. (2017). Rekenen op de basisschool. Review van de samenhang tussen beinvloedbare factoren in het onderwijsleerproces en de rekenwiskundeprestaties van basisschoolleerlingen. Universiteit Leiden. 
https://www.nro.nl/wp-content/uploads/2017/12/Rekenen-op-de-basisschool-review-405-17-920.pdf
 KNAW, 2009; KNAW. (2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Analyse en sleutels tot verbetering. KNAW.
 Slavin & Lake, 2008). Slavin, R. E., & Lake, C. (2008). Effective programs in elementary mathematics: A best evidence synthesis. Review of Educational Research, 78(3), 427–455. 
https://doi.org/10.1017/CBO9781107415324.004
 Wel weten we dat de leraar het verschil maakt. Het gaat om hoe de leraar de dagelijkse lespraktijk vormgeeft: hoe hij of zij een rijk repertoire van technieken inzet om aan te sluiten op wat leerlingen nodig hebben. Denk daarbij aan feedback geven, uitgewerkte voorbeelden inzetten, scaffolding en expliciete uitleg. In effectief reken-wiskundeonderwijs werken leraren doelgericht, kennen ze de leerlijnen en hun leerlingen en gebruiken dat om te differentiëren. Deze elementen zijn de sleutel tot de kwaliteit van het rekenonderwijs en zijn belangrijker dan welke rekenmethode of digitale hulpmiddelen worden ingezet (Hickendorff et al., 2017; Hickendorff, Mostert, T. M. M., Van Dijk, C. J., Jansen, L. L. M., Van der Zee, L. L., & Auer, M. F. F. (2017). Rekenen op de basisschool. Review van de samenhang tussen beinvloedbare factoren in het onderwijsleerproces en de rekenwiskundeprestaties van basisschoolleerlingen. Universiteit Leiden. 
https://www.nro.nl/wp-content/uploads/2017/12/Rekenen-op-de-basisschool-review-405-17-920.pdf
 Slavin & Lake, 2008). Slavin, R. E., & Lake, C. (2008). Effective programs in elementary mathematics: A best evidence synthesis. Review of Educational Research, 78(3), 427–455. 
https://doi.org/10.1017/CBO9781107415324.004

We staan tot slot nog stil bij een viertal sleutelbegrippen voor hóe de leraar het verschil kan maken: het soort instructie, de inzet van digitale tools, het inspelen op behoeften van verschillende leerlingen en het stimuleren van zelfvertrouwen en motivatie.  

Het soort instructie

Welke rol vervult de leraar: meer structuur verlenend of meer begeleidend? Die vraag ligt onder het onderscheid tussen (expliciete) directe instructie en meer constructivistische instructiemethoden zoals bijvoorbeeld ontdekkend en onderzoekend leren. Deze aanpakken kunnen beide effectief zijn: er is geen overtuigend bewijs dat de ene aanpak altijd beter werkt dan de andere (Hickendorff et al., 2017; Hickendorff, Mostert, T. M. M., Van Dijk, C. J., Jansen, L. L. M., Van der Zee, L. L., & Auer, M. F. F. (2017). Rekenen op de basisschool. Review van de samenhang tussen beinvloedbare factoren in het onderwijsleerproces en de rekenwiskundeprestaties van basisschoolleerlingen. Universiteit Leiden. 
https://www.nro.nl/wp-content/uploads/2017/12/Rekenen-op-de-basisschool-review-405-17-920.pdf
 KNAW, 2009; KNAW. (2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Analyse en sleutels tot verbetering. KNAW.
 Slavin & Lake, 2008). Slavin, R. E., & Lake, C. (2008). Effective programs in elementary mathematics: A best evidence synthesis. Review of Educational Research, 78(3), 427–455. 
https://doi.org/10.1017/CBO9781107415324.004

Wel is het onderscheid tussen beide aanpakken relevant bij het differentiëren tussen sterkere en zwakkere rekenaars. Voor zwakkere rekenaars is een sturende en expliciete instructiestijl waarbij de leerkracht het leerproces leidt aan te bevelen (Kroesbergen & Van Luit, 2003). Kroesbergen, E. H., & Van Luit, J. E. H. (2003). Mathematics interventions for children with special educational needs: A meta-analysis. Remedial and Special Education, 24(2), 97–114. 
https://doi.org/10.1177/07419325030240020501
 Voor gemiddelde en betere leerlingen en voor hogere-orde doelen zoals flexibel en handig rekenen kan een meer begeleidende instructie-aanpak goed werken (Blöte et al., 2001). Blöte, A. W., van der Burg, E., & Klein, A. S. (2001). Students’ flexibility in solving two-digit addition and subtraction problems: Instruction effects. Journal of Educational Psychology, 93(3), 627–638. 
https://doi.org/10.1037/0022-0663.93.3.627
 Maar ook dan is het belangrijk dat leraren goed aansluiten op de voorkennis van leerlingen en ze echt begeleiding bieden: puur zelfstandig ontdekkend leren is niet effectief (Alfieri et al., 2011). Alfieri, L., Brooks, P., Aldrich, N. J., & Tenenbaum, H. R. (2011). Does discovery-based instruction enhance learning? A meta-analysis. Journal of Educational Psychology, 103(1), 1–18. 
https://doi.org/10.1037/a0021017

Inzet van digitale tools

In het reken-wiskundeonderwijs worden regelmatig digitale middelen ingezet, zoals de software die bij de methode hoort, oefenprogramma’s zoals Rekentuin of digitale adaptieve platforms zoals Snappet (Inspectie van het Onderwijs, 2021). Digitale tools kunnen van toegevoegde waarde zijn, bijvoorbeeld omdat ze opgaven kunnen aanbieden die aansluiten bij het niveau van de leerlingen en leraren zicht kunnen geven op de voortgang van leerlingen (Faber et al., 2017). Faber, J. M., Luyten, H., & Visscher, A. J. (2017). The effects of a digital formative assessment tool on mathematics achievement and student motivation: Results of a randomized experiment. Computers & Education, 106, 83–96. 
https://doi.org/10.1016/J.COMPEDU.2016.12.001
 Digitale tools zijn een middel en geen doel: het gaat er om hoe leraren ze in de lespraktijk inzetten (Hardman, 2019). Hardman, J. (2019). Towards a pedagogical model of teaching with ICTs for mathematics attainment in primary school: A review of studies 2008–2018. Heliyon, 5(5), e01726. 
https://doi.org/10.1016/j.heliyon.2019.e01726
 Dat wil zeggen dat als de inzet aansluit bij de werkzame principes ze een positief effect kunnen hebben, mits eventuele nadelen (zoals het niet opschrijven van berekeningen) niet een groter effect hebben. De leraar blijft essentieel.

Inspelen op behoeften

Voor effectief reken-wiskundeonderwijs is het essentieel dat leraren inspelen op de onderwijsbehoeften van leerlingen, oftewel differentiëren (Prast, Van de Weijer-Bergsma, Kroesbergen, et al., 2018). Prast, E. J., Van de Weijer-Bergsma, E., Kroesbergen, E. H., & Van Luit, J. E. H. (2018). Differentiated instruction in primary mathematics: Effects of teacher professional development on student achievement. Learning and Instruction, 54, 22–34. 
https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2018.01.009
 Dit is echter ook juist een knelpunt: basisschoolleraren zeggen deze didactische vaardigheid onvoldoende te beheersen en toe te passen (Inspectie van het Onderwijs, 2015a, 2015b; Inspectie van het Onderwijs. (2015b). De staat van het onderwijs. Onderwijsverslag 2013/2014. Inspectie van het Onderwijs. 
 Lazonder, 2022). Lazonder, A. (2022). Kennis en vaardigheden van leerlingen. Themabeschrijving voor de Kennisagenda voor het onderwijs. NRO. 
https://www.nro.nl/sites/nro/files/media-files/Kennisagenda%20Thema%20Kennis%20en%20

Vaardigheden.pdf
 Vooral beginnende leraren hebben hier moeite mee: ervaring lijkt dus een helpende factor (Van Geel et al., 2022). Van Geel, M., Keuning, T., & Safar, I. (2022). How teachers develop skills for implementing differentiated instruction: Helpful and hindering factors. Teaching and Teacher Education: Leadership and Professional Development, 1, 100007. 
https://doi.org/10.1016/J.TATELP.2022.100007
 Differentiatie vraagt bepaalde kennis en vaardigheden van leraren. Kennis van hoe leerlingen leren rekenen en van rekendidactische modellen. En vaardigheden om die kenniscomponenten met elkaar te verbinden en in te zetten in de lespraktijk.

Kennis van het vak, de vakdidactiek en de leerlijnen

Kennis van hoe leerlingen leren rekenen en van rekendidactische modellen (Pedagogical Content Knowledge, PCK) zijn onontbeerlijk voor doelgericht reken-wiskundeonderwijs (Hill et al., 2008). Hill, H. C., Ball, D. L., & Schilling, S. G. (2008). Unpacking pedagogical content knowledge: Conceptualizing and measuring teachers' topic-specific knowledge of students. Journal for Research in Mathematics Education, 39(4), 372-400.
 Een sleutelrol is weggelegd voor kennis van leerlijnen. Leerlijnen geven een geïdealiseerde weergave van de ontwikkeling van leerlingen in een bepaald domein en vormen zo een beredeneerde opbouw van tussendoelen naar een bepaald einddoel (Confrey et al., 2014). Confrey, J., Maloney, A. P., & Corley, A. K. (2014). Learning trajectories: a framework for connecting standards with curriculum. ZDM - International Journal on Mathematics Education, 46(5), 719–733. 
https://doi.org/10.1007/s11858-014-0598-7
 Die kennis is noodzakelijk om te bepalen waar leerlingen op een bepaald moment staan en daar het onderwijs op af te stemmen. Het is belangrijk dat leraren van de reken-wiskundemethode durven af te wijken als de onderwijsbehoeften daarom vragen (Onderwijsraad, 2022). Onderwijsraad. (2022). Taal en rekenen in het vizier. Onderwijsraad. https://www.onderwijsraad.nl/documenten/2022/11/3/taal-en-rekenen-in-het-vizier

Differentiatie

Differentiëren betekent dat de leraar de voortgang van de leerlingen monitort om hun onderwijsbehoeften vast te stellen, en het onderwijsaanbod aan deze behoeften aanpast (Prast et al., 2015; Prast, E. J., Van de Weijer-Bergsma, E., & Kroesbergen, E. H. (2015). Readiness-based differentiation in primary school mathematics: expert recommendations and teacher self-assessment. Readiness-Based Differentiation in Primary School Mathematics: Expert Recommendations and Teacher Self-Assessment, 3(2), 90–116.
https://doi.org/10.14786/flr.v3i2.163
 Roy et al., 2013). Roy, A., Guay, F., & Valois, P. (2013). Teaching to address diverse learning needs: Development and validation of a Differentiated Instruction Scale. International Journal of Inclusive Education, 17(11), 1186–1204.
https://doi.org/10.1080/13603116.2012.743604
 Een handzaam model om te differentiëren bestaat uit vijf stappen die elkaar cyclisch opvolgen (Prast et al., 2015; Prast, E. J., Van de Weijer-Bergsma, E., & Kroesbergen, E. H. (2015). Readiness-based differentiation in primary school mathematics: expert recommendations and teacher self-assessment. Readiness-Based Differentiation in Primary School Mathematics: Expert Recommendations and Teacher Self-Assessment, 3(2), 90–116.
https://doi.org/10.14786/flr.v3i2.163
Prast, Van de Weijer-Bergsma, Kroesbergen, et al., 2018): Prast, E. J., Van de Weijer-Bergsma, E., Kroesbergen, E. H., & Van Luit, J. E. H. (2018). Differentiated instruction in primary mathematics: Effects of teacher professional development on student achievement. Learning and Instruction, 54, 22–34. 
https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2018.01.009

• Vaststellen van de onderwijsbehoeften: voortgangstoetsen, methodetoetsen, leerlingenwerk en vragen die leerlingen stellen geven relevante informatie. Vervolgens kunnen leerlingen in niveaugroepen worden ingedeeld.
• Differentiatie in doelen: formuleer uitdagende maar haalbare doelen per niveaugroep.
• Differentiatie in instructie: klassikale instructie, verlengde instructie aan subgroepen en eventueel individuele leerlingen. Bij de zwakkere rekenaars sluit de instructie meer op het concrete niveau aan, bij sterkere rekenaars is dit meer abstract.
• Differentiatie in verwerking: de omvang en moeilijkheidsgraad (en niveau van abstractie) kunnen variëren.
• De voortgang en het proces evalueren: heeft de aanpak gewerkt en hoeveel zijn de leerlingen gegroeid? Dit geeft de opmaat voor een nieuwe differentiatiecyclus, en maakt een flexibele groepsindeling mogelijk door de nieuwe informatie over het niveau van de leerlingen.

Differentiëren gebeurt niet alleen tijdens de les maar vindt plaats in vier fases die met elkaar verband houden: voorbereiden van een periode, voorbereiden van een les, uitvoeren van de les en evalueren na afloop van de les (Keuning et al., 2022). Keuning, T., van Geel, M., & Dobbelaer, M. (2022). ADAPT: Krijg zicht op differentiatievaardigheden. Pica. 
https://www.matchproject.nl/wp-content/uploads/2022/09/Keuning-Van-Geel-Dobbelaer-2022-ADAPT_Pica.pdf

Lees ook
Leidraad over differentiëren als sleutel voor gelijke kansen

Sterke rekenaars

Inspelen op de behoeften van leerlingen gaat om álle leerlingen, niet alleen om de zwakke rekenaars. Vooral bij leerlingen met sterkere rekenvaardigheden is winst te behalen (Inspectie van het Onderwijs, 2019). Inspectie van het Onderwijs. (2019). Reken-en wiskundeonderwijs aan (potentieel) hoogpresterende leerlingen. Inspectie van het Onderwijs. 
 Zij krijgen onvoldoende uitdagende instructie en worden te vaak zelfstandig aan het werk gezet (Keijzer & Hotze, 2020). Keijzer, R., & Hotze, A. (2020). De sterke rekenaar zit dikwijls op de gang. ScienceGuide. 
https://www.scienceguide.nl/2020/03/de-sterke-rekenaar-zit-dikwijls-op-de-gang/
 Leraren blijken ook te weinig kennis te hebben over de leerlijnen voor rekenaars die in de bovenste 20 procent presteren (Inspectie van het Onderwijs, 2019). Inspectie van het Onderwijs. (2019). Reken-en wiskundeonderwijs aan (potentieel) hoogpresterende leerlingen. Inspectie van het Onderwijs. 

Deze leerlingen hebben lesstof nodig die hen stimuleert rekenkundig de diepte in te gaan: die hun vraagt te beredeneren en na te denken over oplossingen voor complexe vraagstukken (Gavin et al., 2009). Gavin, M. K., Casa, T. M., Adelson, J. L., Carroll, S. R., & Sheffield, L. J. (2009). The impact of advanced curriculum on the achievement of mathematically promising elementary students. Gifted Child Quarterly, 53(3), 188–202. 
https://doi.org/10.1177/0016986209334964
 Bied hun denkactiviteiten en stel uitdagende rekenvragen die niet gericht zijn op het reproduceren van parate kennis.

Het compacten van de leerstof voorkomt onnodige herhaling en leidt tot versnelling. De vrijgekomen tijd kunnen leraren gebruiken voor verrijking. Daarbij hebben ook sterke rekenaars frequente instructie- en feedbackmomenten nodig, omdat het verrijkingsmateriaal om leerstof van hoog niveau gaat en nieuwe onderwerpen bevat (Kennisrotonde, 2021). Kennisrotonde. (2021). Wat zijn de onderwijsbehoeften van sterke rekenaars in het basisonderwijs en hoe kan het onderwijs aan deze leerlingen het meest effectief worden vormgegeven? (KR.1127). NRO/Kennisrotonde. 
https://www.kennisrotonde.nl/sites/kennisrotonde/files/media-files/PDF%20voor%20website-Kennisrotonde-antwoord%20VRAAG-1127_1.pdf
 Om dit mogelijk te maken kunnen leraren een vast instructiemoment in de rekenles plannen voor de sterke (Sjoers, 2018). Sjoers, S. (2018). Sterke rekenaars in het basisonderwijs: de theoretische onderbouwing. Volgens Bartjens-Ontwikkeling En Onderzoek, 37(4), 41–51.
https://www.volgens-bartjens.nl/documenten/

archief/bartjens/vb-37-4-o-en-o-sjoers-sterke-rekenaars-in-het-basisonderwijs.pdf
 Ook een gedegen opgezette plusklas rekenen-wiskunde, gericht op positieve opbrengsten, kan werken.

Stimuleren van zelfvertrouwen en motivatie

Motivatie is een belangrijke factor in het reken-wiskundeonderwijs. Leerlingen met hogere motivatie investeren meer en presteren daardoor beter, en leerlingen die beter presteren hebben meer zelfvertrouwen en intrinsieke motivatie (Schukajlow et al., 2017). Schukajlow, S., Rakoczy, · K, & Pekrun, · R. (2017). Emotions and motivation in mathematics education: theoretical considerations and empirical contributions. ZDM, 49, 307–322.
https://doi.org/10.1007/s11858-017-0864-6
 Het is dus tweerichtingsverkeer.

Motivatie is een complex begrip, en er bestaan verschillende theorieën over (leer)motivatie (Schukajlow et al., 2017). Schukajlow, S., Rakoczy, · K, & Pekrun, · R. (2017). Emotions and motivation in mathematics education: theoretical considerations and empirical contributions. ZDM, 49, 307–322.
https://doi.org/10.1007/s11858-017-0864-6
 Eén theorie, de expectancy-value theorie, stelt dat motivatie wordt beïnvloed door wat leerlingen verwachten als uitkomst van hun inzet en de waarde die ze aan die verwachte uitkomst toekennen (Wigfield & Eccles, 2000). Wigfield, A., & Eccles, J. S. (2000). Expectancy–Value Theory of Achievement Motivation. Contemporary Educational Psychology, 25(1), 68–81.
https://doi.org/10.1006/CEPS.1999.1015
 Als leerlingen het gevoel hebben dat het te bereiken doel (bijvoorbeeld het maken van een werkblad of toets) haalbaar is en tot een positief resultaat zal leiden, dan zullen ze gemotiveerd zijn om hieraan te werken. Maar als ze denken dat het doel niet binnen hun bereik ligt (‘dit is te moeilijk voor mij’, ‘ik werk te langzaam’), dan zullen ze zich niet inzetten. Een andere theorie, de zelfdeterminatietheorie, maakt een onderscheid tussen extrinsieke en intrinsieke motivatie (Ryan & Deci, 2000). Ryan, R. M., & Deci, E. L. (2000). Self-determination theory and the facilitation of intrinsic motivation, social development, and well-being. American Psychologist, 55(1), 68–78.

https://doi.org/10.1037/0003-066X.55.1.68
 Intrinsieke motivatie om je ergens voor in te zetten hangt af van de vervulling van drie psychologische basisbehoeften: competentie (ervaren dat je iets kan), autonomie (zelfstandig handelen) en verbondenheid (sociale relaties met anderen).

In de verschillende theorieën is een centrale rol weggelegd voor succesverwachtingen en zelfvertrouwen. Hoe hoger het zelfvertrouwen van leerlingen in hun eigen reken-wiskundevaardigheden, hoe meer ze leren -- ongeacht hun startniveau (Prast, Van de Weijer-Bergsma, Miočević, et al., 2018). Prast, E. J., Van de Weijer-Bergsma, E., Miočević, M., Kroesbergen, E. H., & Van Luit, J. E. H. (2018). Relations between mathematics achievement and motivation in students of diverse achievement levels. Contemporary Educational Psychology, 55, 84–96. 
https://doi.org/10.1016/J.CEDPSYCH.2018.08.002
 Leraren kunnen het zelfvertrouwen en zelfbeeld van leerlingen stimuleren door succeservaringen te creëren en (te veel) faalervaringen te voorkomen. Dit vraagt dus om passend aanbod. Een aandachtspunt is werken met niveaugroepen: als dit te star gebeurt bestaat het risico dat leerlingen die (altijd) in de laagste niveaugroep zitten een laag zelfbeeld ontwikkelen (Prast, Van de Weijer-Bergsma, Kroesbergen, et al., 2018). Prast, E. J., Van de Weijer-Bergsma, E., Kroesbergen, E. H., & Van Luit, J. E. H. (2018). Differentiated instruction in primary mathematics: Effects of teacher professional development on student achievement. Learning and Instruction, 54, 22–34. 
https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2018.01.009
 Differentiatie kan ook op andere manieren, bijvoorbeeld door te variëren in werkwijze of door leerlingen keuzes te bieden, wat ook hun gevoel voor autonomie bevordert.

Bij veelvuldige negatieve ervaringen met rekentaken zullen leerlingen minder geneigd zijn zich in te zetten voor toekomstige rekentaken, omdat ze denken dat de gestelde doelen voor hen onbereikbaar zijn. Dit kan leiden tot zorgen en gevoelens van angst (Lauermann et al., 2017). Lauermann, F., Eccles, J. S., & Pekrun, · Reinhard. (2017). Why do children worry about their academic achievement? An expectancy-value perspective on elementary students’ worries about their mathematics and reading performance. ZDM, 49, 339–354.
https://doi.org/10.1007/s11858-017-0832-1
 Rekenangst is desastreus voor de leeropbrengsten. Er lijkt sprake van een vicieuze cirkel: rekenangst zorgt voor vermijding van rekentaken en een overbelasting van het werkgeheugen waardoor de rekenontwikkeling achterblijft. Dat zorgt vervolgens weer voor een lager zelfvertrouwen en meer rekenangst (Dowker et al., 2016). Dowker, A., Sarkar, A., & Looi, C. Y. (2016). Mathematics anxiety: What have we learned in 60 years? Frontiers in Psychology, 7, 508. 
https://doi.org/10.3389/fpsyg.2016.00508

Meisjes hebben gemiddeld meer rekenangst dan jongens. Rekenangst komt bij jonge kinderen nog nauwelijks voor. Daarom is het heel belangrijk om rekenangst te voorkomen. En als het zich toch voordoet zo snel mogelijk in te grijpen en het patroon te doorbreken. Dat kan door positieve rolmodellen van leraren, die laten zien dat iedereen de basis van het rekenen onder de knie kan krijgen en dat oefening helpt. Ook is het belangrijk dat leerlingen positieve ervaringen met rekenen-wiskunde opdoen door passend aanbod en passend toetsen (Dowker et al., 2016). Dowker, A., Sarkar, A., & Looi, C. Y. (2016). Mathematics anxiety: What have we learned in 60 years? Frontiers in Psychology, 7, 508. 
https://doi.org/10.3389/fpsyg.2016.00508

Lees ook
Artikel over omgaan met reken(faal)angst 

Onderwijsprofessionals hebben bijgedragen aan dit artikel door vanuit de praktijk mee te denken bij de afbakening van het thema en door feedback te geven op de tekst. Lees meer over de kwaliteitscriteria.